Цену подняли на 25%, потом снизили на 20%, потом снова подняли на 10%. Кажется, что ответ считается в уме: плюс 25, минус 20, плюс 10, итого плюс 15%. Это ошибка, и на ней легко потерять балл в количественной области психометрии. Правильный ответ получается умножением, и без калькулятора его можно найти за полминуты, если перевести проценты в обычные дроби.
Условие
Цена куртки в магазине выросла на 25%. Через месяц новую цену снизили на 20%. Ещё через месяц цену подняли на 10%.
Как итоговая цена куртки соотносится с первоначальной?
- (1) Она выше первоначальной на 15%
- (2) Она выше первоначальной на 10%
- (3) Она выше первоначальной на 5%
- (4) Она равна первоначальной
Попробуйте решить сами, прежде чем читать дальше. На экзамене на такой вопрос разумно тратить не больше минуты.
Решение шаг за шагом
Первоначальная цена в условии не дана, и она не нужна. В таких задачах удобно взять 100 шекелей: от этого числа проценты считаются проще всего.
- Цена выросла на 25%: 100 + 25 = 125 шекелей.
- Цену снизили на 20%. Важно: 20% считаются от 125, а не от 100. 20% от 125 это 25, значит, цена стала 125 − 25 = 100 шекелей.
- Цену подняли на 10%, теперь уже от 100: 100 + 10 = 110 шекелей.
Итоговая цена 110 шекелей, первоначальная 100. Цена выросла на 10%. Правильный ответ (2).
Обратите внимание на второй шаг. Повышение на 25% и снижение на 20% полностью погасили друг друга. Это не совпадение, и на этом построен быстрый способ.
Быстрый способ: умножать, а не складывать
Каждое изменение в процентах означает умножение цены на число:
- рост на 25% означает умножение на 1,25, то есть на 5/4;
- снижение на 20% означает умножение на 0,8, то есть на 4/5;
- рост на 10% означает умножение на 1,1, то есть на 11/10.
Несколько изменений подряд дают произведение этих чисел: 5/4 × 4/5 × 11/10. Первые две дроби сокращаются до единицы, остаётся 11/10. Цена выросла в 1,1 раза, то есть на 10%.
Почему мы советуем переводить проценты в обычные дроби? На психометрическом экзамене калькулятором пользоваться нельзя, это прямо сказано в официальном руководстве ИЦЭО. Перемножать 1,25 и 0,8 в столбик долго, а 5/4 и 4/5 сокращаются за секунду. Полезно запомнить несколько пар, которые встречаются постоянно:
- +25% и −20% (5/4 и 4/5) взаимно гасят друг друга;
- +50% и −33⅓% (3/2 и 2/3) тоже;
- +100% и −50% (2 и 1/2) тоже;
- +20% и −16⅔% (6/5 и 5/6) тоже.
Если в условии встречается одна из этих пар, её можно сразу вычеркнуть и работать только с тем, что осталось.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Сложить проценты. 25 − 20 + 10 = 15, и рука тянется к ответу (1). Среди вариантов вполне может оказаться результат типичной ошибки, поэтому то, что ваш ответ есть в списке, ещё не значит, что он правильный. Проценты складывать нельзя, потому что каждый следующий процент берётся от новой величины, а не от исходной.
Ошибка 2. Считать, что рост и снижение на одинаковый процент гасят друг друга. Если цену поднять на 20%, а потом снизить на 20%, получится 1,2 × 0,8 = 0,96. Цена станет на 4% ниже исходной, а не равной ей. Похожая ловушка: человек видит в условии рост и снижение и выбирает вариант «равна первоначальной», ответ (4), не досчитав до конца.
Ошибка 3. Перепутать базу. Перед каждым шагом спрашивайте себя: «процент от какой цены?». В нашей задаче снижение на 20% считается от 125, а не от 100. Её легко сделать и в обратных задачах, где известна цена после изменения.
Задача для самопроверки
После повышения на 25% билет стоит 300 шекелей. Сколько он стоил до повышения?
- (1) 225 шекелей
- (2) 240 шекелей
- (3) 250 шекелей
- (4) 275 шекелей
Ответ: (2). Цену умножили на 5/4, значит, чтобы вернуться назад, нужно умножить 300 на 4/5. Получается 240. Проверка: 25% от 240 это 60, и 240 + 60 = 300. Самый соблазнительный неверный ответ здесь (1): это 300 минус 25% от 300. Ошибка в базе: 25% надо было считать от старой цены, а не от новой.
Заодно видно, почему пара +25% и −20% гасит друг друга: чтобы вернуться от 300 к 240, цену нужно снизить на 60 шекелей, а 60 это ровно 20% от 300.
Похожая логика работает в задачах на смеси и растворы. Пример такой задачи с решением есть в записи «Задача на концентрацию».
Как это связано с экзаменом
Начиная с декабрьской даты 2026 года психометрический экзамен состоит из двух областей: словесного мышления и количественного мышления. В количественной области ИЦЭО называет два типа вопросов: вопросы и задачи, а также вопросы на понимание графиков и таблиц. На каждый раздел с выбором ответа отводится ровно 20 минут. Подробности есть на странице ИЦЭО о новом формате.
На наш взгляд, работу с процентами стоит довести до автоматизма: она нужна и в текстовых задачах, и при чтении графиков, где часто спрашивают, на сколько процентов одна величина больше другой. Секунды, сэкономленные на таком вопросе, достаются более сложным задачам в конце раздела. О том, как выстроить подготовку по математике, если школьная база слабая, мы писали в статье «С тебя и тройки хватит».
Если вы сдаёте на русском, учтите расписание. В декабре 2026 года экзамена на русском нет, поэтому для вас новый формат начнётся весной. Ближайшая дата с русским языком 18-19 апреля 2027 года, регистрация до 10 февраля 2027 года. Следующая дата с русским 1 июля 2027 года, регистрация до 13 мая. Проверяйте даты по таблице ИЦЭО: они могут меняться.
До апреля около пяти месяцев: если начать сейчас, можно без спешки пройти всю количественную область, от процентов до графиков. Как устроена подготовка на русском языке, можно посмотреть на странице курса психометрии учебного центра «Окей».
