Какая дробь больше: 5/8 или 7/11? Можно привести их к общему знаменателю 88, но обычно есть путь короче. Чаще всего хватает одного из пяти быстрых приёмов. Начнём с задачи в стиле экзамена.
Условие
Какая из дробей самая большая?
- (1) 7/9
- (2) 11/14
- (3) 5/6
- (4) 9/11
Попробуйте решить сами, прежде чем читать дальше. Калькулятором на экзамене пользоваться нельзя.
Решение
В каждой дроби числитель немного меньше знаменателя. В таком случае удобно смотреть не на саму дробь, а на то, сколько ей не хватает до единицы:
- 7/9 не хватает 2/9;
- 11/14 не хватает 3/14;
- 5/6 не хватает 1/6;
- 9/11 не хватает 2/11.
Чем меньше недостача, тем больше сама дробь. Остаётся найти самую маленькую из четырёх недостач, и это легко сделать, если подогнать числители:
- 1/6 = 2/12. Среди дробей с числителем 2 меньше та, у которой больше знаменатель, поэтому 2/12 меньше, чем 2/11 и 2/9.
- 1/6 = 3/18, а 3/18 меньше, чем 3/14.
Самая маленькая недостача у 5/6, значит, это и есть самая большая дробь. Правильный ответ (3).
Пять быстрых приёмов
Все приёмы ниже работают для положительных дробей. Об отрицательных скажем отдельно в разделе об ошибках.
1. Одинаковые знаменатели. Больше та дробь, у которой больше числитель: 5/9 больше, чем 4/9.
2. Одинаковые числители. Больше та дробь, у которой меньше знаменатель: 3/7 больше, чем 3/8. Одно и то же делят на меньшее число частей, и каждая часть получается крупнее. Если числители разные, их часто можно сделать одинаковыми, как мы сделали в решении: 1/6 = 2/12 = 3/18.
3. Перекрёстное умножение. Чтобы сравнить a/b и c/d, сравните произведения a × d и c × b. Для 5/8 и 7/11 это 5 × 11 = 55 и 7 × 8 = 56. Второе произведение больше, значит, 7/11 больше, чем 5/8. По сути это тот же общий знаменатель 88 (55/88 и 56/88), только без лишних записей. Способ универсальный, но, когда числа крупные, он медленнее остальных.
4. Сравнение с ориентиром. Иногда одна дробь меньше половины, а другая больше, и считать ничего не нужно. В дроби 6/13 числитель меньше половины знаменателя (6,5), значит, она меньше 1/2. А у 7/12 числитель больше половины знаменателя (6), значит, она больше 1/2. Ответ: 7/12 больше. Ориентиром может быть и 1, и 1/3, и любое удобное число.
5. Недостача до единицы. Приём из решения. Он особенно удобен, когда дроби близки к 1: сравнивать 2/9 и 2/11 проще, чем 7/9 и 9/11.
Типичные ошибки
Ошибка 1. «Больше знаменатель, больше дробь». Знаменатель у 1/8 больше, чем у 1/6, но сама дробь меньше: кусок пирога, разрезанного на восемь частей, меньше куска такого же пирога, разрезанного на шесть.
Ошибка 2. «Разница одна и та же, значит, дроби равны». У 2/3 и у 7/8 знаменатель больше числителя на единицу, но дроби не равны. Недостача до единицы у них разная: 1/3 и 1/8. Поэтому 7/8 больше.
Ошибка 3. Забыть о знаке. Для отрицательных дробей порядок переворачивается: 3/4 больше, чем 2/3, но −3/4 меньше, чем −2/3. Если в вопросе могут быть отрицательные числа, сначала разберитесь со знаком, а уже потом сравнивайте.
Ошибка 4. Сразу делить в столбик. Перевести каждую дробь в десятичную можно, но это самый долгий путь. Оставьте его на случай, когда остальные приёмы не помогают.
Задача для самопроверки
Расположите дроби 3/5, 5/8 и 4/7 в порядке возрастания.
- (1) 3/5, 4/7, 5/8
- (2) 4/7, 3/5, 5/8
- (3) 4/7, 5/8, 3/5
- (4) 5/8, 3/5, 4/7
Ответ: (2). Сравним перекрёстным умножением. 3/5 и 4/7: 3 × 7 = 21 больше, чем 4 × 5 = 20, значит, 3/5 больше, чем 4/7. 3/5 и 5/8: 3 × 8 = 24 меньше, чем 5 × 5 = 25, значит, 5/8 больше, чем 3/5. Получаем 4/7, 3/5, 5/8.
Тот же ответ даёт недостача до единицы: у 3/5 она 2/5, у 5/8 она 3/8, у 4/7 она 3/7. Подгоним числители: 2/5 = 6/15, 3/7 = 6/14, 3/8 = 6/16. Самая большая недостача у 4/7, самая маленькая у 5/8.
Как это связано с экзаменом
В психометрии две области: словесное мышление и количественное мышление. Сравнивать дроби приходится в количественной области часто: в задачах, при чтении графиков и таблиц и когда нужно быстро отбросить неверные варианты ответа. Калькулятором пользоваться нельзя, это прямо сказано в правилах для экзаменуемых на сайте ИЦЭО, а на каждый раздел с вопросами с выбором ответа отводится 20 минут.
Дроби тесно связаны с процентами: 25% = 1/4, 20% = 1/5. Как это помогает решать задачи на проценты без калькулятора, мы показали в записи «Задача на проценты: плюс 25%, минус 20%, плюс 10%».
Хотите подготовиться к психометрии? Приходите в Окей!
